Cercetătorii explică: un rol cheie în rezolvarea acestei probleme vechi l-au jucat spinorii — obiecte matematice utilizate pe scară largă în mecanica cuantică.
În lumea geometriei s-a produs un eveniment remarcabil. Matematicienii de la Universitatea Monash (Australia) au rezolvat o problemă veche de câteva secole și au extins semnificativ domeniul de aplicare al teoremei lui Descartes despre cercuri, formulată încă din secolul al XVII-lea.
Folosind metode matematice moderne, inspirate din fizică, echipa a dezvoltat o ecuație generală care descrie un număr arbitrar de cercuri tangente. Aceasta a permis o nouă perspectivă asupra relației propuse inițial de marele matematician René Descartes pentru patru astfel de cercuri.
De la Descartes la spinori
Teorema lui Descartes, una dintre pietrele de temelie ale geometriei, definește relația dintre patru cercuri tangente două câte două. Ea conectează curburile acestora (mărimi inverse razelor). Cu toate acestea, timp de secole, generalizarea acestei ecuații elegante pentru mai mult de patru cercuri a rămas o problemă nerezolvată pentru matematicieni.
Conferențiarul Daniel Mathews de la Școala de Matematică a Universității Monash, împreună cu doctorandul Orion Zymaris, au dedus o ecuație care descrie așa-numitele n-flori (n-flowers) — configurații geometrice complexe de cercuri tangente care seamănă cu o floare.
„Descartes a propus problema prințesei Elisabeth de Palatinat în 1643, crezând că o va putea rezolva singur. La urma urmei, tocmai inventase coordonatele carteziene. Când a simplificat și reformulat problema până la un punct aproape rezolvabil, aceasta a devenit cunoscută drept teorema clasică a lui Descartes despre cercuri„, a declarat Mathews.
În teoria împachetării cercurilor (un domeniu al geometriei care studiază plasarea optimă a cercurilor fără intersectarea lor), astfel de „flori” sunt elemente structurale fundamentale. Se știe că, cunoscând curburile cercurilor exterioare – „petalele” într-o n-floare, se poate determina exact curbura cercului central.
La baza cercetării matematicienilor australieni stau metode matematice moderne care utilizează spinorii. Aceștia sunt obiecte matematice speciale care își găsesc de obicei aplicarea în domenii ale fizicii precum mecanica cuantică (pentru descrierea spinului particulelor elementare) și teoria relativității.
Merită menționat că ecuația pentru patru cercuri, teorema lui Descartes, a fost descoperită independent și de alți oameni de știință. A fost propusă pentru prima dată de matematicianul japonez Yamaji Nushizumi în 1751.
Mai târziu, a fost redescoperită de Jakob Steiner în 1826, William Beecroft în 1842 și Frederick Soddy în 1936. Cel din urmă a expus chiar teorema sub forma unui cunoscut poem-enigmă intitulat „The Kiss Precise”.
„Alți oameni de știință au generalizat rezultatul lui Descartes în diferite moduri, dar cercetarea noastră este prima extensie care oferă o ecuație explicită, exactă, conectând razele (sau curburile) unui număr arbitrar de cercuri tangente în plan.”
Răspunsuri la o întrebare veche de 380 de ani
Orion Zymaris, a cărui cercetare doctorală a condus la acest progres, a subliniat conexiunile neașteptate ale rezultatului obținut cu alte domenii ale matematicii și fizicii. „Abordarea noastră a utilizat instrumente geometrice avansate, inspirate din fizică, ceea ce în sine a fost surprinzător.”
El a explicat că tocmai spinorii au jucat un rol cheie. „Am folosit o variantă a tehnicii spinoriale dezvoltată de laureatul Nobel Sir Roger Penrose și Wolfgang Rindler, pe care ei au aplicat-o în teoria generală a relativității.
Se dovedește că aceleași structuri matematice care descriu spinul cuantic al particulelor și spațiu-timpul în teoria relativității ne ajută să înțelegem și problemele cercurilor.”
Această lucrare nu numai că marchează un pas semnificativ înainte în matematică, dar demonstrează și potențialul științific în creștere al grupului de topologie (ramura matematicii care studiază proprietățile figurilor care se păstrează în deformări continue) de la Universitatea Monash. În prezent, în acest grup studiază nouă doctoranzi, dintre care cinci sunt femei.
„Această descoperire este un exemplu captivant de cum problemele clasice, vechi, pot inspira matematicienii să creeze noi teorii și metode după secole”, a concluzionat Mathews. „Este incredibil să te gândești că o întrebare asupra căreia René Descartes își frământa mintea în anii 1600 încă ascundea răspunsuri noi, nedescoperite până acum.”
Dacă doriți să fiți primii care află despre progresele tehnologice, vă invităm să vă abonați la canalul nostru de Telegram sau să vizitați site-ul nostru TehnObzor.RU pentru recenzii actualizate ale gadgeturilor.
Sursa imaginii: Unsplash
Etichete: matematică, geometrie, cercuri, Descartes, spinori, fizică cuantică, descoperire științifică, teorema lui Descartes, Universitatea Monash
